11.满函子和忠实函子

交换群是满足一些额外结构的集合，群同态是满足一些额外性质的映射，因此，在某种程度上交换群范畴包含在集合范畴中，这种包含关系就是前面提到的遗忘函子描述的。但是这个函子没有理由是单的，因为对于同一个集合，存在许多不同的交换群结构。我们想要的那种单的函子其实就是忠实函子。

定义了一系列的函子

对于函子对态射的映射

1.忠实函子，映射是单的

2.满函子，映射是满的

3.既满又忠实的函子，映射是双射

4.函子是范畴同构，当函子是满的，忠实的，并且诱导一个对象类之间的双射。

对于反变函子这个定义也很容易应用。定义4是范畴同构在小范畴和函子组成的范畴中的特例。

米田嵌入函子是满的，忠实的。

由米田引理，做一些改变，得到，是一个双射，上面就是它的逆。

下面是关于子范畴的一些术语。

范畴A的子范畴Ｂ包含范畴A中对象类的一个子类，以及箭头集的一个子集，使得复合律，恒等律在Ｂ所含的对象和态射中封闭。

显然，子范畴是范畴的一部分，于是给出了一个包含函子。

子范畴称之为满的，当包含函子也是一个满函子。其含义为子范畴中任意两个对象的箭头集和基础范畴中对应的箭头集是一样的，没有缺失某个箭头。

举个例子，集合和单射构成的范畴是集合范畴的子范畴，但不是满子范畴。而有限集和映射构成的范畴是集合范畴的满子范畴。

一个满子范畴可以仅仅通过给出对象类来清晰地定义。因为箭头集和基础范畴是一致的。

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就到这了，这一节是单射，满射在函子上的表现。其实区别也不大，只是将元素的关系推广到了映射的关系。由于所有的元素都可以转化为一个单点集到元素集合的映射，所以函子的忠实性和满性是更为基础的概念了。单满射只是特例。对于子范畴，满子范畴也是一种推广，就像群的子群一样。满子群没听说过，群的话好像也不需要这种说法，本来就是满的。