范畴代数手册

35.限制的交换

2020-12-24 本文已影响0人 Obj_Arr

给定一个函子和他的限制，我们用 $lim FD$ 表示对象L。这个记号有时会产生歧义，因为他没有提及D中的箭头，不过小心使用的话，这种记号在计算限制和余限制时就很有用。

我们现在对这样的函子限制感兴趣。并且将证明交换性。

$F：\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal A$

$lim_{C\in\mathcal C}(lim_{D\in\mathcal D}F(C,D))\cong lim_{D\in\mathcal D}(lim_{C\in\mathcal C}F(C,D))$

对于每个固定对象C，存在函子

$F(C,-):\mathcal D\to\mathcal A$

$F(C,-)(D)=F(C,D),F(C,-)(d)=F(1_C,d)$

于是限制 $lim_{C\in\mathcal C}F(C,D)$ 就是这个函子的限制。

现在每个态射 $c:C\to C^\prime$ 对应于每个对象D都可诱导出一个箭头 $F(c,1_D)$

而且，对于每个箭头 $d:D\to D^\prime$ 上图是交换的。

也就是说，每个箭头 $c:C\to C^\prime$ 诱导一个自然变换

$F(c,-):F(C,-)\Rightarrow F(C^\prime,-)$

假定 $lim_{D\in\mathcal D}F(C,D),lim_{D\in\mathcal D}F(C^\prime,D)$ 存在，那么复合

$lim_{D\in\mathcal D}F(C,D) \stackrel{p_D}{\longrightarrow}F(C,D)\stackrel{F(c,1_D)}{\longrightarrow}F(C^\prime,D)$

显然构成了函子 $F(C^\prime,-)$ 的一个锥，并且有唯一分解记作

$lim_{D\in\mathcal D}F(c,1_D):lim_{D\in\mathcal D}F(C,D)\to lim_{D\in\mathcal D}F(C^\prime,D)$

于是定义新的函子 $L:\mathcal C\to\mathcal A$

$L(C)=lim_{D\in\mathcal D}F(C,D),L(c)=lim_{D\to\mathcal D}F(c,1_D)$

我们需要证明这确实是个函子。这样那样，就证明了是个函子。

前面的函子L的限制，当存在时，实际上就是双重限制 $lim_{C\in\mathcal C}(lim_{D\in\mathcal D}F(C,D))$ ，对于 $lim_{D\in\mathcal D}(lim_{C\in\mathcal C}F(C,D))$ 有同样的描述。

交换性 $lim_{C\in\mathcal C}(lim_{D\in\mathcal D}F(C,D))\cong lim_{D\in\mathcal D}(lim_{C\in\mathcal C}F(C,D))$ 意味着连接这两个限制的标准态射就是同构。这比存在某个同构的条件还要强。现在我们来描述这样的标准态射。

从L的限制开始，有这样的对应投射。

对于固定的对象和某个态射，就有性质。证明了复合 $p_D\circ p_C$ 构成了 $F(-,D)$ 上的一个锥。

巴拉巴拉，得到了互逆的同构。

考虑一个完备范畴，和两个小范畴。给定函子，交换性成立。

a.将两个集合视为离散范畴，函子就是A的对象族。当A带积时，交换性就是积的广义交换律。

b.将集合I视为离散范畴，平行箭头2范畴，函子就是A中箭头对，当A是完备的，交换性就化简为角对的交换性。

公式打起来很费事，然后是内容，感觉不好玩，限于繁琐之中，姑且还是看下去吧。虽然普遍，但感觉越来越遥远，还是希望能够多一些初等的例子。高等的例子即使推出来了，但因为不理解也记不住。

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