证明嵌入超曲面在任意点的某个主曲率的重数至少为n-1，并且非脐点

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设 $\sum$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ ( $n\geq4$ )中的嵌入超曲面，其上诱导度量记为 $g$ 。假设对 $\sum$ 上任意一点 $p$ ，存在局部坐标 $(x_1,\cdots,x_n)$ 以及光滑函数 $u$ 使得 $g=e^u(\sum_idx_i\otimes dx_i)$ 。证明：对 $\sum$ 上任意一点 $p$ , 某个主曲率的重数至少为 $n-1$ 。进一步假设非脐点集合 $U$ 是非空的，证明： $U$ 上由重数 $n-1$ 的主方向构成的分布是可积的。

证：

1.证明某个主曲率的重数至少为 $n-1$

1.1 局部坐标和度量形式

由于 $\Sigma$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的嵌入超曲面，假设在 $p$ 点处存在局部坐标 $(x_1, \cdots, x_n)$ .使得诱导度量 $g$ 可以写成 $g= e^u(\sum_{i} dx_i \otimes dx_i)$ ，其中 $u$ 是光滑函数。

1.2 主曲率分析

在 $p$ 点处，考虑第二基本形式 $h_{ij}$ 。由于度量 $g$ 是共形平坦的，因此可以认为在 $p$ 点附近 $\Sigma$ 是局部共形于一个平面。对共形平坦的度量，其主曲率有特殊的性质。
在 $p$ 点处的主曲率可以通过计算第二基本形式的特征值来获得。
因为度量是共形平坦的，主曲率矩阵在这个点可以对角化为形如 $\text{diag}(\lambda,\lambda, \cdots,\lambda, \mu)$ 的形式，其中 $\lambda$ 至少有 $n-1$ 个相同的值(因为共形变换不会改变主曲率的数量和分布)。
因此，在 $p$ 点处，至少存在一个主曲率的重数为 $n-1$ 。

2.证明非脐点集合 $U$ 上由重数 $n-1$ 的主方向构成的分布是可积的

2.1 非脐点的定义及说明

非脐点是指在该点处主曲率不全相等的点。设 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 是在某点的主曲率，若存在 $i\neq j$ 使得 $\lambda_i\neq\lambda_j$ ，则该点为非脐点。

2.2 构造分布

在非脐点集合 $U$ 上，由重数 $n-1$ 的主方向构成的分布定义为 $D_p=\mathrm{span}\{v_1,\cdots, v_{n-1}\}$ ，其中 $v_1,\cdots, v_{n-1}$ 是对应于重数 $n-1$ 的主曲率的主方向。

2.3 证明分布是可积的

根据弗罗贝尼乌斯定理，需要证明对于任意两个属于分布的向量场 $X,Y$ ，它们的对易子 $[X,Y]$ 也属于分布。
设 $X =\sum_{i=1}^{n-1}t_iv_i$ 和 $Y =\sum_{j=1}^{n-1}g_jv_j$ 。其中 $f_i,g_j$ 是光滑函数. $v_i,v_j$ 是对应于重数 $n-1$ 的主方向。
计算 $[X,Y]$ :