幺半范畴及高阶范畴

单纯的范畴有些过于单薄了，所容纳的运算有点少，于是，在基本的范畴结构上又开始添加上一系列的限定词，幺半范畴，笛卡尔范畴，闭范畴，紧范畴，笛卡尔闭范畴。

这样就构成了为数众多的范畴家族。

最首要的就是幺半范畴，在范畴上定义一个幺半群结构，就像在集合上定义幺半群结构一样，包括一个二元运算，一个单位元，以及结合律。等一下，结合律这一块就出现了差别，范畴论与通常的理论区别就在于两个结构的等同关系不再是等号，而是同构，毕竟范畴论中定义的结构往往都是在同构的意义下唯一的，也就是说，结构不再是单个的结构，而是结构的同构类。

所以这里的结合律以及单位元的作用律都要从等号变成同构，通过特定的同构映射来连接。这也导致了非常复杂的交换图。对于4个量就有5种结合方式，于是有五边形图。

对于二元运算，可以定义交换性a⊕b≌b⊕a，于是就有辫幺半范畴，而当这个二元运算是笛卡尔积的时候，还可以定义投影，于是有笛卡尔幺半范畴，或者就直接写笛卡尔范畴。

如此种种，就构成了许许多多种精细的幺半范畴。

还有一种推广就是通过包纳的方式，将对象和态射视为1范畴，从视觉上，就是点和线，然后将1范畴及1范畴态射视为2范畴，也就是点，线和面。就像同伦一样，可以不断地定义高阶同伦，直至k阶，然后通过某种方式获得∞阶同伦。于是对应的范畴就从一阶，到高阶，再到∞阶，变得越来越抽象了。