一个图，一节课

一节课就讲一个图形，是不是太简单了？可是，一节课下来，这一个图所蕴含的知识还真是不少。

第一题

第一道题目，学生可以用两角分别相等的两个三角形证明相似。规范步骤，让绝大部分学生学会这个证明过程。

延伸1：线段AC、CD和BD之间存在着怎样的数量关系呢？

利用刚才证明的两个三角形相似，可以得到对应线段成比例的比例式，然后利用三角形PCD是等边三角形，进行等量代换，可以得到 CD的平方=AC×BD。

问题来了，如果题目就让你来求证CD的平方=AC×BD，你会证明吗？

延伸2：图中有几对相似三角形？请证明你的结论。

不难看出，除了三角形ACP相似于三角形PDB之外，还有三角形ACP相似于三角形APB，以及三角形BDP相似于三角形BPA。可以说这三个三角形两两相似，总共有三对相似三角形。

延伸3：从图中你还能找出哪些线段是另外两条线段的比例中项呢？

由三角形ACP相似于三角形APB，可以得到线段AP的平方=AC×AB，即线段AP是线段AC和线段ab的比例中项。

由三角形BDP相似于三角形BPA，可以得到线段BP的平方=BD×BA，即线段BP是线段BD和线段BA的比例中项。

这些结论让你可以联想到之前我们学过的哪个图形？哪个知识呢？

生：直角三角形的射影定理！

我们再来看第2道题目：

第二题

这个题目的第一问和刚刚的第一题中的条件和结论正好相反，根据相似三角形对应角相等的性质，不难求出角APB的度数是120度。而第二问求边长，就可以利用我们刚刚讲到的延伸1来求解。

再来看第三题：

第三题

这个题目和刚刚两道题目的图形几乎是一样的，但是证明的方法完全不同，这一次要利用两边成比例且夹角相等来证明。学生容易出问题的地方是步骤不规范，两边对应成比例，需要先列出1:2=2:4，再换成由字母组成的比例式，得到对应线段成比例。

一节课，一个图，对于整体水平较高的学生掌握并不难，但是，我们现在所面对的学生对于几何证明还是有困难，需要老师加以引导的。

这种小专题的总结，课本和辅导书中并没有，需要老师去帮助学生归纳整理。学生见的多了，再遇到类似图形，就会想到从哪里下手，怎样去处理。当然，数学题目千变万化，学生不可能通过背过数学题来学习，而是从不断地积累和练习中掌握技巧和方法，逐渐增强推理能力。