17.同构

2020-12-06 本文已影响0人 Obj_Arr

最后，考虑范畴中的可逆态射

态射f：A--B称之为同构，则存在态射g：B--A使得 $f\circ g=1_B,g\circ f=1_A$

显然，态射g是唯一的，于是可以称之为f的逆，记为 $f^{-1}$ 。唯一性证明还是熟悉的配方。

性质：

1.任意恒等态射是同构

2.同构的复合是同构

3.同构既是满态又是单态。于是具有左消性和右消性。 $f\circ g\circ f=f\circ h\circ f\Rightarrow g=h$

范畴中如果一个部分是满态，那他就是同构。 $f\circ g\circ f=f\Rightarrow f\ is\ isomorphism$

每个函子保持同构，显然。因为函子保持恒等态射和复合运算，故成立。

满的而且忠实的函子映出同构，显然。这样的函子实际上给出了一个一一对应，在函子的值域范畴中给出了定义域范畴的一个备份，同构性质自然保留。

a.集合范畴，同构是双射

b.拓扑空间范畴，同构是同胚映射。这说明既是满态又是单态，这样的态射未必是同构，因为双的连续映射未必是同胚。

c.群范畴，交换群范畴，带幺交换环范畴，同构是双同态

d.环的右模范畴，同构是双的线性映射

e.巴拿赫空间和有界线性泛函所构成的范畴，同构是有界线性双射。

同构自然是双射，反过来，一个有界线性双射的逆映射显然是线性的，由开映射定理，f是开的因为他是满射，但是f是开的意味着f逆是连续的，因此是有界的。

巴拿赫空间和线性收缩，同构是等距映射，原距离可视为收缩两次，肯定不大于收缩一次，但是收缩映射要求映射后不大于原距离，于是，距离在映射前后不变，为等距映射。

g.范畴的同构，要求满，忠实，而且在对象间诱导一个双射。

h.一个群可以视为单对象的自同构范畴，即每个态射是一个同构。其实，这就反映了群作用这一概念，群可视为对某个物体的操作。

这一节，啪，很快，一堆同构打出来，集合，群，拓扑空间，范畴，都防住了，这是有备而来，即便一本书在普通，同构自然是会讲的，所以就很熟悉，也就看得快了。

至于同构是不是范畴论的主题呢？应该不算是，更多的是一个引子，引出了这个领域。对于初涉猎的人而言是不错的切入点。

在不同的领域寻找同一范式，从而化陌生为熟悉，化未知为已知，极大的提升知识迁移速度，在更高的层次理解，这个应该是主题。