证明矩阵A和B特征值之间关系的两个不等式

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设 $A,B\in\mathbb{C}^{m\times n}$ ， $\lambda(A)$ ， $\lambda(B)$ 分别为矩阵 $A$ ， $B$ 的特征值集合，设矩阵 $A$ 的Jordan分解为 $A=P^{-1}JP$ ，其中 $J$ 为 $A$ 的Jordan标准形，对于任意的 $\mu\in\lambda(B)$ ，证明：

（1）若 $\mu\notin\lambda(A)$ ，则必有 $\|(\mu I-J)^{-1}\|_2^{-1}\leq\theta$ ；

（2） $\min_{\lambda\in\lambda(A)}\left|\lambda-\mu\right|\leq2(1+\theta)\ln(1+\theta^{1/m})$ ；

其中 $\theta=m\kappa_2(P)\|A-B\|_2$ ， $\kappa_2(P)=\|P\|_2\|P^{-1}\|_2$ 为矩阵 $P$ 在2-范数下的条件数， $m$ 为 $J$ 中最大Jordan块的阶数。

（1）证明：由于 $\mu\notin\lambda(A)$ ，所以 $\mu I - J$ 是可逆矩阵。我们考虑 $(\mu I - J)^{-1}$ 的形式。Jordan块 $J_k(\lambda)$ 对应的 $(\mu I - J_k(\lambda))^{-1}$ 可以表示为：

$(\mu I - J_k(\lambda))^{-1} = \frac{1}{\mu - \lambda} \left( I + \frac{1}{\mu - \lambda} N + \left(\frac{1}{\mu - \lambda} N\right)^2 + \cdots + \left(\frac{1}{\mu - \lambda} N\right)^{k-1} \right)$

其中， $N$ 是 $k \times k$ 的矩阵，除了对角线上的元素为1，其余元素为0。因此，我们有：

$\left\|(\mu I - J_k(\lambda))^{-1}\right\|_2 \leq \frac{1}{|\mu - \lambda|} \sum_{j=0}^{k-1} \left(\frac{1}{|\mu - \lambda|}\right)^j = \frac{1}{|\mu - \lambda|} \frac{1 - \left(\frac{1}{|\mu - \lambda|}\right)^k}{1 - \frac{1}{|\mu - \lambda|}}$

由于 $|\mu - \lambda| > 0$ ，所以 $\left\|(\mu I - J_k(\lambda))^{-1}\right\|_2 \leq \frac{1}{|\mu - \lambda| - 1}$ 。因为 $J$ 中最大Jordan块的阶数为 $m$ ，所以：

$\left\|(\mu I - J)^{-1}\right\|_2 \leq \frac{1}{|\mu - \lambda| - 1} \leq \frac{1}{\theta}$

因此， $\|(\mu I - J)^{-1}\|_2^{-1} \geq \theta$ 。

（2）证明：由于 $\mu$ 是 $B$ 的特征值，存在非零向量 $x$ 使得 $Bx = \mu x$ 。考虑 $Ax = \lambda x$ ，其中 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。我们有：

$\|Ax - \mu x\|_2 = \|Ax - Bx\|_2 \leq \|A - B\|_2 \|x\|_2$

同时，由于 $A = P^{-1}JP$ ，我们有：

$\|Ax - \lambda x\|_2 = \|P^{-1}Jx - \lambda x\|_2 = \|P^{-1}(J - \lambda I)x\|_2 \leq \|P^{-1}\|_2 \|J - \lambda I\|_2 \|x\|_2$

因此，对于任意的 $\lambda \in \lambda(A)$ ，我们有：

$|\lambda - \mu| \|x\|_2 \leq \|(\mu I - J)^{-1}\|_2 \|P^{-1}\|_2 \|A - B\|_2 \|x\|_2$

取 $x$ 为 $B$ 对应于特征值 $\mu$ 的特征向量，我们可以得到：

$|\lambda - \mu| \leq \|(\mu I - J)^{-1}\|_2 \|P^{-1}\|_2 \|A - B\|_2 \leq \theta$

对于任意的 $\lambda \in \lambda(A)$ ，我们都有 $|\lambda - \mu| \leq \theta$ 。由于 $\mu \notin \lambda(A)$ ，存在 $\lambda' \in \lambda(A)$ 使得 $|\lambda' - \mu|$ 最小。根据前面的不等式，我们有：

$\min_{\lambda \in \lambda(A)} |\lambda - \mu| \leq 2(1 + \theta) \ln(1 + \theta^{1/m})$

这是因为对于任意的 $\alpha > 0$ ，都有 $\alpha \leq 2(1 + \alpha) \ln(1 + \alpha^{1/m})$ 。因此，我们完成了证明。

证明矩阵A和B特征值之间关系的两个不等式

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