理解倍数关系，构建本质意义——对于 “百分数”的新要求与新实践
关于“百分数”的教学，课标已经从原有《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称：2011年版课标）里的“数与代数”领域调整到新的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称：2022年版课标）里的“统计与概率”领域，也就是从原本表示“一个数”变化到表示“一个统计量”。 从2011年版课标对于百分数的描述“结合具体情境，理解百分数的意义。”到2022年版课标“结合具体情境，探索百分数的意义，能解决与百分数有关的简单实际问题，感受百分数的统计意义。”我们可以清晰地看到“感受百分数的统计意义”是对百分数作为一个统计量的要求，是教学目标的一个很大变化，而这也正好对应了“统计与概率”领域的总体要求。那么，新课标对于百分数意义的变化仅限于此吗？
一、百分数表示“倍数关系”的新要求
1.“教学提示”引疑惑。
（1）表示倍数关系也是新要求？ 2022年版课标除了内容要求之外，还增加了“学业评价”和“教学提示”以便教师更好的理解教学内容。“教学提示”关于百分数的教学要引导学生知道百分数是两个数量倍数关系的表达，既可以表达确定数据，也可以表达随机数据。建议利用现实问题中的随机数据引入百分数的学习，帮助学生了解百分数的统计意义，了解百分数可以认识现实世界中的随机现象，作出判断、制定标准。需要注意的是除了统计量的要求外这里还增加了“百分数是两个数量倍数关系的表达”的要求，这是2011年版课标所不曾出现的。
（2）理解“一个数是另一个数的百分之几”就是理解倍数关系吗？
“百分数是两个数量倍数关系的表达”，可能很多教师都不会重点去关注，因为：百分数表示一个数是另一个数的百分之多少，说的就是倍数关系，我们原本的教学就是这么教的。那这里就产生了两个疑惑：1.作为教师认可这句话表示倍数关系吗？学生认可这句话表示倍数关系吗？2.你在平时教学中是如何让学生理解百分数是两个数量间的倍数关系？
2.“学情调研”证猜想。
（1）常规教学，无法理解倍数关系。
为验证“百分数是两个数量倍数关系的表达”学生是否能理解，我们对学校六年级班级（部分班已经教学“百分数的认识”、部分班没有教学）进行了测试。
测试结果发现，无论是已教学，还是未教学的班级，学生都能理解图中的20%表达的意思是：已经下载的文件量是文件总量的百分之二十。那是否理解20%表示的是：已经下载的文件量与文件总量之间的倍数关系呢？统计如下表：
数据显示，已教学和未教学百分数，对学生是否理解百分数表示两个量之间的倍数关系，几乎没有影响。也就是常规的教学方式，是无法帮助学生理解百分数表示倍数关系的。
（2）小于1的数，不表示倍数关系。
学生为什么不认可20%可以表示两个量之间的倍数关系？我们采访了多位学生，归纳起来有3类原因：1.“倍”只出现在自然数中（2倍、3倍、10倍），后也认可大于1的小数，如1.5倍、2.5倍；2.“倍”只能出现在一个量与其他另一个不同量的对比，不能是一个量与总量对比，因为小于1倍了；3.因为五分之一不能表示两个量之间的倍数关系，所以20%也不能表示倍数关系。也就是说，为什么学生不认可20%表示倍数关系，主要是在五年级教学“一个数是另一个数的几分之几”内容时，没有使学生理解这里的几分之几就是在讲两个数间的倍数关系，因此到了六年级学习百分数时，也就不认同小于1的数，可以表示两个量之间的倍数关系。
因此，2022年版课标对于百分数的要求，除了显著的“感受统计意义”之外，我们还要关注“百分数的意义”，也就是帮助学生理解百分数也可以像自然数、小数、分数一样表示两个量之间的倍数关系，在倍数关系这一层面上这几个“数”具有一致性。
二、百分数表示“倍数关系”的新实践
1.理解百分数可以超过100%。
课件出示3份学习材料（注学习这三个材料之前，学生已经理解了，百分数表示一个数是另一个数的百分之多少）：
师：仔细观察这三个材料，你理解这里的百分数表示什么意思吗？
生1：第一幅图的20%表示已经下载的文件是文件总量的百分之二十。
生2：第二幅图的37%表示六1班近视人数占总人数的百分之三十七。
生3：第三幅图的200%就是轿车的行驶速度是货车行驶速度的百分之二百。
师：同学们都能理解这里的百分数表示的就是一个数是另一个数的百分之多少的意思。那为什么有的百分数小于100%，而有一些可以大于100%。
同桌讨论。
生：因为前两个是一个量跟总数之间的比较，那肯定小于100%，最多就是等于总数就是100%，而第三个材料，因为是两个不同的量进行比较，可以超过100%。
师：你们也是这么理解的吗？谁能再举个超过100%的生活实例？
小组讨论。
生1：老师的体重大概是我体重的200%。
生2：爸爸的收入是妈妈收入的150%。
生3：游乐场周六的收入是周五的300%。
...
[思考：学生对在具体情境中的百分数意义理解难度是不大的，因此让学生根据图意直接解释，然后引导学生发现为什么有些百分数可以超过100%？超过100%的百分数学生在生活中也有接触，根据对超速例子的理解举例，帮助学生更好的理解两个不同量之间的比可以超过100%，也为接下来理解百分数是两个数量“倍数关系”的表达做铺垫。]
2.由整数倍切入，理解倍数关系一致性。
（1）理解百分数、整数倍的一致性。
师：理解了百分数可以超过100%，那轿车的速度是货车速度的200%，在今天学习百分数之前，我们还能怎样来表示？
轿车的速度是货车速度的200%，还可以这样说：轿车的速度是货车速度的（ ）
生：轿车的速度是过车速度的（2倍）
师：原来200%，这个百分数还可以表示两个量之间的倍数关系，200%就是2倍。那刚才举例的游乐场周六收入是周五的300%，也可以说是：周六收入是周五的？
生：游乐场周六收入是周五的（3倍）。
师：爸爸的收入是妈妈的150%，就可以说是：爸爸的收入是妈妈的（ ）倍
生：1.5倍。
[思考：200%还可以表示成2倍，这是学生能顺利理解的，然后从200%到150%，也就是从整数倍2倍，到小数倍1.5倍，顺利对接百分数在倍数关系（大于1倍）时与自然数、小数的一致性，整体贯通了学生对于数的认识。]
（2）理解小于1倍的百分数。
师：理解了200%这个百分数可以表示两个数量间的倍数关系。那20%和37%呢？
已下载的文件量是文件总量的（ ）。
六1班近视人数是全班人数的（ ）。
可以怎么表示呢？
生1：已经下载的文件量是文件总量的（0.2倍）
生2：已经下载的文件量是文件总量的（五分之一倍）
师：是的，小于100%的数同样可以表示倍数关系。20%就是0.2倍，或者是五分之一倍。
那六1班近视人数是全班人数的（ ）倍？
生：六1班近视人数是全班人数的0.37倍。
师：我们潜意识里认为大于1的数才可以表示倍数，其实像37%、20%这些小于1的数同样可以表示两个数量之间的倍数关系，与整数倍是一样的。
[思考：从整数倍到小于1的倍数关系，学生逐渐接受和理解百分数可以表示两个量间的倍数关系。20%=0.2倍=倍，是一致的。这个环节实际教学，推动起来却有些难度，其实主要还是在于小于1的分数表示倍数关系（五下：一个数是另一个数的几分之几）教学时，没有明确这也是倍数关系，因此在六年级的百分数教学时，如遇到点困难也是正常的，但必须要渗透，使学生理解。
“倍数关系”打通、沟联了百分数与整数、小数、分数之间在表示关系的意义理解上的一致性。因此，解读2022年版课标对百分数的要求，不能把全部焦点放在统计意义上，而是要先从一致性的角度，充分理解百分数表示的意义，再通过生活中的真实情景和数据，让学生理解百分数可以表达随机现象，感受统计的意义，对随机现象做出预测判断。
