47.伴随函子的例子：集合范畴，范畴范畴，拓扑空间范畴和豪斯多夫

f.考虑一个固定集合I和集合范畴上的函子，这个函子有一个右伴随函子

对于两个集合X，Y，同构成立。其实就是成立。由于这些双射是自然的，所以所需的结果自然成立。

g.考虑小范畴和函子构成的范畴范畴。对于给定的小范畴，有与集合范畴中类似的结果。

h.考虑拓扑空间和连续映射构成的范畴，以及他的满子范畴，豪斯多夫空间范畴。含入函子有左伴随函子。标准映射就是商映射，对象就是由拓扑空间构造的豪斯多夫空间。（回忆起豪斯多夫空间就是对角映射是闭的拓扑空间）

就到这了，这次把之前遗留的伴随函子的证明看完了，发现有一个棘手的问题，像之前画图来表示证明，还是比较容易的，因为至多不过是箭头的平移，对象的对应，但是，在那个证明中出现了大小结构的问题，最开始的米田引理也有这个问题，通过人为定义的双射，可以将单个对象对应到一个箭头，一个函子，甚至一个自然映射。这就产生一个大问题，该怎么画出来呢。一个几乎是个点的元素，对应到一个复杂的图，这个对应箭头画在哪都感觉不合适。而失去了图像化单的表述，证明就很难看了，完全成为了符号的游戏。我看着都感觉混乱，路径化的证明方式肯定是可行的，还是要好好考虑一下了。接下来就要尝试把对象到箭头，对象到函子，箭头到箭头，箭头到函子的对应图给他搞出来，把这些证明给他图形化，直观化。