39.函子范畴的限制

我们考察函子和自然映射构成的范畴中的限制的存在性。

考虑范畴ACD，其中CD是小范畴。设是一个函子，代表函子范畴。如果对任意的对象C，函子有限制，那么F就有限制，并且可以逐点求出。

作为一个直接的结论，我们得到

考虑完备范畴A和小范畴C，在这样的条件下，函子范畴是完备的而且限制可以逐点求出。

考虑带拉回的范畴A以及小范畴C，给出两个函子FG和他们之间的一个自然映射，这个自然映射是单态当且仅当对任意对象C，诱导的自然映射是范畴A中的单态。

考虑小范畴C和到集合范畴的函子范畴

1.函子范畴是完备的和余完备的

2.函子范畴中，有限限制和滤过余限制交换

3.函子范畴中，余限制是万有的

考虑小范畴C，反变米田嵌入。这个嵌入函子保持限制

考虑小范畴C和到集合范畴的函子F，函子范畴中，F可以表示为一个图的余限制，由可表函子和可表自然映射组成的图。

a.考虑一个群G，以及G-集合范畴，这个范畴其实是群操作范畴，由序对构成，E是某个集合，圆点是群操作，满足公理恒等元和结合律。群集合之间的态射可视为对集合的映射。可以将群G视为只含一个对象的范畴，箭头是对象的自映射，复合由群乘法给出。群集合与相应的同态实际上就是群自身范畴到集合范畴的函子范畴，给出一个群操作实际上就是对每个群元素给出一个群元素和集合元素的乘法。

由上面的定理，我们推得群集合范畴是完备的，余完备的，有限限制和滤过余限制交换，而且余限制是万有的。

考虑群自身范畴到集合范畴的唯一可表函子，实际上就是群集合，标量乘就是群乘法。每个群集合可以表示为仅包含基本群集合的图的余限制。

b.函子范畴可以是完备的，即使A不是完备的。一个显然的例子是取A和C为空的，A是不完备的或者不余完备的，因为他没有终对象或者初始对象。但是函子范畴有唯一的对象，即空函子，还有恒等态射，这个函子范畴显然是完备的，余完备的。由于C没有对象，函子范畴的限制仍然是逐点的，空成立。练习中有一个非逐点的限制。

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快了，这一章快结束了，群操作，群操作范畴，在代数第0课上看过了，现在想想那本书真是太坑人了，哪是第0课，分明是高阶课程，直接从范畴论观点讲代数结构还是太超前了，应该从初等数学的范畴论开始，慢慢引入，可能会好一些？