14.单态

2020-12-03 本文已影响0人 Obj_Arr

当复合律出现在某些数学结构中时，我们总是关注那些可消去，或者说可逆的元素。这一部分将学习范畴中具有左消去性的态射。

一个态射称之为单态，当对于任意的两个可先复合的态射，复合后的态射是可消去的。

$(f\circ g=f\circ h)\Rightarrow(g=h)$

我们可以用符号 $f：A\rightarrowtail B$ 来强调这是一个单态。

一些性质：

1.恒等态射是单态

2.两个单态的复合是单态

3.假如 $k\circ f$ 是单态，那么f是单态。

证明很简洁

$(k\circ f\circ g=k\circ f\circ h)\Rightarrow(f\circ g=f\circ h)\Rightarrow(g=h)$

$(f\circ g=f\circ h)\Rightarrow(k\circ f\circ g=k\circ f\circ h)\Rightarrow(g=h)$

下面是一些非常经典的术语

假如 $g\circ f=1_A$ ，则f称为g的一个部分，g称为f的一个收缩，A称为B的一个收核。

在范畴中，每一个部分都是一个单态。

证明：因为复合态射 $g\circ f=1_A$ 是单态，所以f是单态。

关于函子作用于单态的影响。

定义：

函子F保持单态，即单态经函子作用后还是单态

函子F映出单态，即如果作用后是单态，则原来的态射是单态

一个忠实函子映出单态

证明：由上图，第一个推出是函子的定义，即对复合律的保持。第二个推出是假设条件，即Ff是单态，可左消去。第三个推出是忠实函子的定义，即对映射而言是单射。

例子：

a.集合范畴中的单态实质上就是单射，在前面我们学习到了元素范畴，可以将集合中的元素与单点集到集合态射一一对应起来，在同构的意义上是完全等同的。于是，单射作用于元素，就可以视为作用于态射，自然引出单态的定义。

在这方面，可以使用那句经典的话，箭头是一切。函数是箭头，关系是箭头，就连元素也是箭头。在所有的东西都转化为箭头后，范畴论就能发挥巨大的作用，无视具体理论的差异，提供一个通用的代数工具。

b.在拓扑空间和连续映射范畴中，或者说他的满子范畴完备的豪斯多夫空间，单态就是连续的单射。就像集合中做的那样，空间A的一个元素可以视为单点集到空间A的一个映射。沿用上面的证明过程即可。

c.对于群范畴和交换群范畴，单态就是单的群同态。论证过程依然类似，群中的元素可视为整数群到群G的群同态。这个不太熟悉，等会再看看。

d.带幺交换环范畴，单态是单的环同态。元素对应于整系数多项式环到环R的环同态。这个也不熟悉。

e.带幺环的右模范畴，单态是单的R线性映射。元素对应于R到R模的线性映射。

先到这吧，还有几个例子似乎不那么显然。单态具有左消性，这是关键的点，范畴其实关于运算只有复合一种，所以，尽管交换图可以十分复杂，但是不过是一些分支结构，最后要验证的都是态射复合的相等，可以理解为元素相等，函数相等，泛函相等，这都是可以的，因为范畴论没有说态射一定是什么，这也体现了极大的普适性，所以被人们推崇。但是，过了这么多年范畴论依然没有成为主流的学问，与其说是范畴太抽象了，不如说，基础教育阶段的数学结构过于简单了，杀鸡焉用牛刀。不过，就像高观点下的初等数学书中的精妙论证一般，站的越高，越能看到本质。范畴论是内功，不论数学对象形式如何变化，这些道理总是正确的，一招破万法。不过，他同样也不是万能的，所以还需不断地发展。去囊括更多的领域。

14.单态

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