32.自然变换

自然变换将定义在两个范畴间的一个函子变为另一个函子，因为函子本身是将一个范畴中的对象和箭头映到另一个范畴中的对象和箭头，所以对于不同的函子而言，区别只体现在范畴的像，也就是陪域范畴中的对象和箭头。所以自然变换形式上就是陪域范畴中的箭头。

也就是说给出函子F:C→D,G:C→D,对于范畴C中的任意对象A，在范畴D中有两个像，FA,GA,分别通过这两个范畴映射而来。那么如果给出自然变换θ:F→G，对对象A而言，其内容就是θA:FA→GA。对于箭头可以类似定义f→Ff,f→Gf，θf:Ff→Gf。

自然变换相比于普通的函子间映射而言，有一个独特的性质，自然性。也就是说，对于所有的对象而言，这样的映射是统一的，自然的，没有哪一个对象是特殊的。

具体形式是，对任意的箭头Ff:FA→FB，Gf:GA→GB有GfоθA=θBоFf。

也就是下图

这种自然性说明了这个映射是关乎于结构的，而不是具体的对象和箭头。是框架而不是内容。所以有着更好的通用性，能反映出本质的东西。

与自然变换关联的重要定义就是自然同构，自然同构给一些抽象概念赋予了具体的构造，从文字性的描述变成了具体可行的构造方法。应该算得上是一种进步。

比如上图，就通过自然同构对遗忘函子，幂集函子，超滤函子进行了具体的箭头集构造。这种构造真的称不上是简单，或许更难理解了。

比如第一个构造，就是源对象发出的箭头，自然是一个元素唯一对应一个箭头，这样的箭头集显然与群的元素集同构，群的元素集就是通过遗忘函子得到的群的基础集。

第二个构造，其实就是将集合元素的属于关系通过双元素集来表示，对于集合中任意的元素，映到1就代表属于，映到0就代表不属于，于是1的逆像其实就是集合的子集，于是，每一个不同的箭头对应了集合的不同的子集，所有的这些子集就是集合的幂集。同样实现了箭头与幂集元素的一一对应。

最后一个是布尔代数中的超滤，其实就类似于环中的极大理想，滤子与理想，主滤子与主理想，超滤与极大理想，非常类似。具体的就不展开了，比较一般见不着也用不上。