29.完备范畴

定义一个完备范畴，使得所有指向他的函子都容许一个限制。不走运的是，这不能产生一个相关的概念，由于集合论的原因。例如，设D是一个离散范畴，F是这个离散范畴到集合范畴的函子，F的限制就应该是所有集合FD的的笛卡尔积，一般而言是不存在的，假如暗示了范畴D的对象全体并不是一个集合。

更准确的：

考虑范畴C，使得对任意范畴D，和任意的函子F：D--C，F的限制存在。这种情况下，C仅仅是一个预序类。同样的结论成立，当每个出现的范畴被替换为小范畴，或者有限范畴。

使用万有集公理体系，于是C的对象构成了某些万有集的集合。我们必须证明对于任意的两个对象，箭头集最多只含一个元素。

假设不成立，考虑选定对象间的两个不同的态射。由假设，幂对象，包含某一对象的全体箭头集基数个副本的笛卡尔积，存在。仅使用前面的两个不同态射，就可以构造出个不同的锥，因此，有这么多个不同的分解，然而，这么多的分解也不过是全体箭头集的一个子集，所以必须有，显然是与康托基数定理相矛盾。

范畴C是完备的，当小范畴到C的任意函子，有一个限制

范畴C是有限完备的，当有限范畴到C的任意函子，有一个限制

对偶的，我们得到了余完备范畴的概念。

当一个大范畴到C的函子的限制存在，有时称为大限制。比如，所有集合的积存在，就是空集。

就到这了，完备范畴，为了保证函子限制的存在而定义的结构。类似的结构不在少数，主要是为了方便而快速描述的出所研究的对象，及其符合的性质。像是向量空间，拓扑空间等等。

然后是预序类，其实就是说对象类中的任意两个对象之间要么有一个预序关系，要么无关，其实也就是任意两个对象，要么有一个箭头，要么没有箭头。这就是为什么后面证明任两个对象间不能有两个箭头的原因。