42.伴随函子的定义

设F：A--B是一个函子，B是范畴B的一个对象。当对象B沿函子F的反映存在，那么他在同构的意义下唯一。

考虑一个函子F：A----B，假定对范畴B中的任意对象B，对象B沿函子的反映存在，并且记作。这时，存在一个唯一的函子R：B----A满足这两条性质

1.对范畴B中任意对象B，函子作用后得到他 的沿函子F的反映

2.是自然变换

定义：一个函子R：B----A是函子F：A----B的左伴随函子，当存在一个自然变换，并且满足对范畴B中的任意对象B，是对象B沿函子F的反映。

在3.14中函子和自然变换都是在同构的意义下唯一的，这是3.12的直接推论。另一方面，如果你允许在基础集合论中使用非常强大的选择公理，你甚至可以得出这样的结论，一个函子F：A---B有一个左伴随函子当且仅当范畴B中的每一个对象有沿函子F的反映。需要对范畴Ｂ中的每一个对象选择这样的一个反映，然后运用3.13来定义左伴随函子。

沿函子的反映，同样有对偶概念，称之为沿函子的余反映。于是可以定义右伴随函子。

可以与沿函子的反映比较一下

只是把箭头的方向掉转了。

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到这先结束了，伴随是非常有用的性质，将一个范畴中的结构，通过一个函子平行的反映到另一个范畴中，这个过程可能得到平凡的结果，也可能得到非凡的结果。伴随给出了具体可行的知识领域迁移手段，这才是最重要的。在某种程度上，给出了一种万有理论的框架，而且是在相当深入的水平上。非常有趣。