9.反变函子

A是一个小范畴，所以意味着A的任意两个对象间的态射可以构成集合。于是，根据之前的定理，A到集合范畴的函子，及这些函子间的自然变换可构成一个范畴。

定义映射：

其内容为：

作用于对象得到可表函子，作用于射g得到可表函子间的自然映射。

这个映射具有这样的性质

于是Y*就是一个调转箭头方向的映射。并且在这种反向作用下保持了结合律和恒等映射，于是就是一个函子，称之为反变函子。

正式定义，相对于函子的定义，明显的变化就是对箭头的反向作用，这在箭头的像和复合律上得到了体现。

上面是函子的定义，可以比较一下。只是做了轻微的改动。

应该强调反变函子与函子的区别只在于箭头方向，在函子上成立的性质都可以变为反变函子的性质。下面是反变函子上的自然变换。

反变函子的自然变换

经过比较，发现，和函子间的自然变换相比，只要涉及了射f，箭头方向就要调转。其他不动。

函子的自然变换

其他的结果都可以这样变为反变函子的结果，这样做的合理性可以在对偶原理那一节找到解释。

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函子和反变函子，仅仅改变箭头方向，能有多大的意义呢？拭目以待。